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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1 - Números reales (Anterior)

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2.
a) Decidir si los números aa y bb pertenecen al conjunto CC.
i. C={x∈ℜ/3x−2<4}C=\{x\in\Re\text{/}3x-2<4\}        a=5a=5           b=0b=0
ii. C={x∈R∣−2<x≤8}C = \{ x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 8 \}        a=−3a=-3       b=4b=4
iii. C={x∈ℜ/x2−25>0}C=\{x\in\Re\text{/}x^2-25>0\}        a=0a=0        b=5b=5
iv. C={x∈ℜ/x3−x>10}C=\{x\in\Re\text{/}x^3-x>10\}        a=5a=5        b=−1b=-1
v. C={x∈ℜ/5x−3>12−x}C=\{x\in\Re\text{/}5x-3>\frac{1}{2}-x\}         a=−2a=-2          b=1b=1
vi. C={x∈ℜ/x−12−x≤1−x4−3}C=\{x\in\Re\text{/}\frac{x-1}{2}-x\le\frac{1-x}{4}-3\}          a=9a=9          b=4b=4

Respuesta

i.

Para determinar si un número pertenece al conjunto CC, tenemos que verificar si cumple con las condiciones establecidas en la definición de CC. 

Tené en cuenta que "C={x∈ℜ/3x−2<4}C=\{x\in\Re\text{/}3x-2<4\}" se lee como "el conjunto C, formado por los valores de xx perteneciente a los números reales, tal que se cumpla que 3x-2<4". ¡Sigamos!

Este ejercicio puede resolverse de dos formas:  -> La primera forma es resolviendo la inecuación para despejar x y de esa forma obtener los valores de x que pertenecen al conjunto CC, y luego comparalos con los valores de a y b indicados en el enunciado:
3x−2<43x-2<4 
3x<63x<6 
x<2x<2 
Es decir que el conjunto CC está formado por los valores de x menores a 2. Por lo tanto a=5a=5 no pertenece al conjunto C, pero b=0b=0 sí pertenece. 

  -> La segunda forma sería reemplazar los valores de a y b en la inecuación y ver si se cumple o no la desigualdad:
3x−2<43x-2<4 

Reemplazamos a=5a = 5 en la inecuación: 
3(5)−2<43\left(5\right)-2<4 
          13<413<4 Esto es falso, la desigualdad no se cumple, ya que 13 no es un número menor a 4, por lo tanto aa no pertenece al conjunto planteado.


Reemplazamos b=0b = 0 en la inecuación:
3(0)−2<43\left(0\right)-2<4 
        −2<4-2<4 Esto es verdadero, se cumple la desigualdad, por eso bb pertenece al conjunto planteado.


Repuesta:
a=5a=5 no pertenece al conjunto CC.
b=0b=0 sí pertenece al conjunto CC.

ii.

Para determinar si un número pertenece al conjunto CC, debemos verificar si cumple con las condiciones establecidas en la definición de CC.

Ya sabemos que "C={x∈R∣−2<x≤8}C = \{ x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 8 \}" se lee como "el conjunto C, formado por los valores de xx perteneciente a los números reales, tal que se cumpla que −2<x≤8-2 < x \leq 8". Ahora bien, prestá mucha atención a la condición:

−2<x≤8-2 < x \leq 8 quiere decir que tenemos que informar los valores de xx que son mayores a -2 y que, a la vez, son menores o iguales a 8. 

Acá bien podrías representar estas dos condiciones (−2<x-2 < x y x≤8x \leq 8, acordate de buscar la intersección) en la recta real y obtener los valores que forman el conjunto C. Luego te fijas si los valores de aa y bb pertenecen o no al conjunto C. Si no entendés lo que estoy diciéndo andá a mirar el video de intervalos y volvé. Dale, te espero. No tardes mucho que sino me aburro.

Otra manera de resolver el ejercicio es simplemente reemplazando los valores de aa y bb, acá: −2<x≤8-2 < x \leq 8, y ver si se cumple o no la condición. Te muestro:
Para el número a=−3a=-3, si lo reemplazo queda: −2<−3≤8-2 < -3 \leq 8. Si separamos en dos la inecuación (así es más fácil hacer la interpretación), vemos que aa cumple con la primera condición ya que −3>−2-3 > -2. Sin embargo, no cumple con la segunda condición ya que −3-3 no es menor o igual que 8. Por lo tanto, concluimos que aa no pertenece al conjunto CC.
Para el número b=4b=4, vemos que cumple con ambas condiciones. 44 es mayor que −2-2 y también es menor o igual que 88. Por lo tanto, concluimos que bb sí pertenece al conjunto CC.

Respuesta: a=−3a=-3 no pertenece al conjunto CC. b=4b=4 sí pertenece al conjunto CC.

iii.

x2−25>0x^2-25>0 Reemplazamos a=0a=0 en la inecuación: (0)2−25>0(0)^2-25>0 −25>0-25>0 Falso. Entonces aa no pertenece al conjunto planteado. Reemplazamos b=5b=5 en la inecuación: (5)2−25>0(5)^2-25>0 25−25>025-25>0 0>00>0 Falso. 0=00=0, no puedo decir que 00 es mayor o menor a 00. Entonces bb no pertenece al conjunto planteado.

iv.

x3−x>10x^3-x>10 Reemplazamos a=5a=5 en la desigualdad: (5)3−5>10(5)^3-5>10 125−5>10125-5>10 120>10120>10 Verdadero, se cumple la desigualdad. Por lo tanto, aa pertenece al conjunto planteado. Reemplazamos b=−1b=-1 en la desigualdad: (−1)3−(−1)>10(-1)^3-(-1)>10 −1−(−1)>10-1-(-1)>10 −1+1>10-1+1>10 0>100>10 Falso, no se cumple la desigualdad, entonces bb no pertenece al intervalo dado.

v.

5x−3>12−x5x-3>\frac{1}{2}-x Reemplazamos a=−2a=-2 en la inecuación: 5(−2)−3>12−(−2)5(-2)-3>\frac{1}{2}-(-2) −10−3>12+2-10-3>\frac{1}{2}+2 −13>52-13>\frac{5}{2} No se cumple la desigualdad, por lo tanto aa no pertenece al conjunto CC. Reemplazamos b=1b=1 en la inecuación: 5x−3>12−x5x-3>\frac{1}{2}-x 5(1)−3>12−(1)5(1)-3>\frac{1}{2}-(1) 2>−122>-\frac{1}{2} Se cumple la desigualdad, por lo tanto bb pertenece al conjunto CC.

vi.

x−12−x≤1−x4−3\frac{x-1}{2}-x\le\frac{1-x}{4}-3

Reemplazamos a=9a = 9 en la inecuación:
(9)−12−(9)≤1−(9)4−3\frac{\left(9\right)-1}{2}-\left(9\right)\le\frac{1-\left(9\right)}{4}-3

82−9≤−84−3\frac{8}{2}-9\le\frac{-8}{4}-3

4−9≤−2−34-9\le-2-3

−5≤−5-5\le-5

Verdadero, se cumple la desigualdad. aa pertenece al conjunto planteado.

Reemplazamos b=4b = 4 en la inecuación:

(4)−12−(4)≤1−(4)4−3\frac{\left(4\right)-1}{2}-\left(4\right)\le\frac{1-\left(4\right)}{4}-3

32−4≤−34−3\frac{3}{2}-4\le-\frac{3}{4}-3

−52≤−154-\frac{5}{2}\le-\frac{15}{4}     que es lo mismo que  −2,5≤−3,75-2,5\le-3,75

Falso, no se cumple la desigualdad. bb no pertenece al conjunto planteado.
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