Volver a Guía
Ir al curso
Para determinar si un número pertenece al conjunto $C$, tenemos que verificar si cumple con las condiciones establecidas en la definición de $C$.
Reemplazamos $a = 5$ en la inecuación:
$3\left(5\right)-2<4$
$13<4$ Esto es falso, la desigualdad no se cumple, ya que 13 no es un número menor a 4, por lo tanto $a$ no pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $b = 0$ en la inecuación:
$3\left(0\right)-2<4$
$-2<4$ Esto es verdadero, se cumple la desigualdad, por eso $b$ pertenece al conjunto planteado.
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
a) Decidir si los números $a$ y $b$ pertenecen al conjunto $C$.
a) Decidir si los números $a$ y $b$ pertenecen al conjunto $C$.
i. $C=\{x\in\Re\text{/}3x-2<4\}$ $a=5$ $b=0$
ii. $C = \{ x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 8 \}$ $a=-3$ $b=4$
iii. $C=\{x\in\Re\text{/}x^2-25>0\}$ $a=0$ $b=5$
iv. $C=\{x\in\Re\text{/}x^3-x>10\}$ $a=5$ $b=-1$
v. $C=\{x\in\Re\text{/}5x-3>\frac{1}{2}-x\}$ $a=-2$ $b=1$
vi. $C=\{x\in\Re\text{/}\frac{x-1}{2}-x\le\frac{1-x}{4}-3\}$ $a=9$ $b=4$
Respuesta
i.
Tené en cuenta que "$C=\{x\in\Re\text{/}3x-2<4\}$" se lee como "el conjunto C, formado por los valores de $x$ perteneciente a los números reales, tal que se cumpla que 3x-2<4". ¡Sigamos!
Este ejercicio puede resolverse de dos formas:
-> La primera forma es resolviendo la inecuación para despejar x y de esa forma obtener los valores de x que pertenecen al conjunto $C$, y luego comparalos con los valores de a y b indicados en el enunciado:
$3x-2<4$
$3x<6$
$x<2$
Es decir que el conjunto $C$ está formado por los valores de x menores a 2. Por lo tanto $a=5$ no pertenece al conjunto C, pero $b=0$ sí pertenece.
$3x-2<4$
$3x<6$
$x<2$
Es decir que el conjunto $C$ está formado por los valores de x menores a 2. Por lo tanto $a=5$ no pertenece al conjunto C, pero $b=0$ sí pertenece.
-> La segunda forma sería reemplazar los valores de a y b en la inecuación y ver si se cumple o no la desigualdad:
$3x-2<4$
$3x-2<4$
Reemplazamos $a = 5$ en la inecuación:
$3\left(5\right)-2<4$
$13<4$ Esto es falso, la desigualdad no se cumple, ya que 13 no es un número menor a 4, por lo tanto $a$ no pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $b = 0$ en la inecuación:
$3\left(0\right)-2<4$
$-2<4$ Esto es verdadero, se cumple la desigualdad, por eso $b$ pertenece al conjunto planteado.
Repuesta:
$a=5$ no pertenece al conjunto $C$.
$b=0$ sí pertenece al conjunto $C$.
ii.
Para determinar si un número pertenece al conjunto $C$, debemos verificar si cumple con las condiciones establecidas en la definición de $C$.
Ya sabemos que "$C = \{ x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 8 \}$" se lee como "el conjunto C, formado por los valores de $x$ perteneciente a los números reales, tal que se cumpla que $-2 < x \leq 8$". Ahora bien, prestá mucha atención a la condición:
$-2 < x \leq 8$ quiere decir que tenemos que informar los valores de $x$ que son mayores a -2 y que, a la vez, son menores o iguales a 8.
Acá bien podrías representar estas dos condiciones ($-2 < x$ y $x \leq 8$, acordate de buscar la intersección) en la recta real y obtener los valores que forman el conjunto C. Luego te fijas si los valores de $a$ y $b$ pertenecen o no al conjunto C. Si no entendés lo que estoy diciéndo andá a mirar el video de intervalos y volvé. Dale, te espero. No tardes mucho que sino me aburro.
Otra manera de resolver el ejercicio es simplemente reemplazando los valores de $a$ y $b$, acá: $-2 < x \leq 8$, y ver si se cumple o no la condición. Te muestro:
Para el número $a=-3$, si lo reemplazo queda: $-2 < -3 \leq 8$. Si separamos en dos la inecuación (así es más fácil hacer la interpretación), vemos que $a$ cumple con la primera condición ya que $-3 > -2$. Sin embargo, no cumple con la segunda condición ya que $-3$ no es menor o igual que 8. Por lo tanto, concluimos que $a$ no pertenece al conjunto $C$.
Para el número $b=4$, vemos que cumple con ambas condiciones. $4$ es mayor que $-2$ y también es menor o igual que $8$. Por lo tanto, concluimos que $b$ sí pertenece al conjunto $C$.
Respuesta:
$a=-3$ no pertenece al conjunto $C$.
$b=4$ sí pertenece al conjunto $C$.
iii.
$x^2-25>0$
Reemplazamos $a=0$ en la inecuación:
$(0)^2-25>0$
$-25>0$
Falso. Entonces $a$ no pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $b=5$ en la inecuación:
$(5)^2-25>0$
$25-25>0$
$0>0$
Falso. $0=0$, no puedo decir que $0$ es mayor o menor a $0$. Entonces $b$ no pertenece al conjunto planteado.
iv.
$x^3-x>10$
Reemplazamos $a=5$ en la desigualdad:
$(5)^3-5>10$
$125-5>10$
$120>10$
Verdadero, se cumple la desigualdad. Por lo tanto, $a$ pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $b=-1$ en la desigualdad:
$(-1)^3-(-1)>10$
$-1-(-1)>10$
$-1+1>10$
$0>10$
Falso, no se cumple la desigualdad, entonces $b$ no pertenece al intervalo dado.
v.
$5x-3>\frac{1}{2}-x$
Reemplazamos $a=-2$ en la inecuación:
$5(-2)-3>\frac{1}{2}-(-2)$
$-10-3>\frac{1}{2}+2$
$-13>\frac{5}{2}$
No se cumple la desigualdad, por lo tanto $a$ no pertenece al conjunto $C$.
Reemplazamos $b=1$ en la inecuación:
$5x-3>\frac{1}{2}-x$
$5(1)-3>\frac{1}{2}-(1)$
$2>-\frac{1}{2}$
Se cumple la desigualdad, por lo tanto $b$ pertenece al conjunto $C$.
vi.
$\frac{x-1}{2}-x\le\frac{1-x}{4}-3$
Reemplazamos $a = 9$ en la inecuación:
$\frac{\left(9\right)-1}{2}-\left(9\right)\le\frac{1-\left(9\right)}{4}-3$
$\frac{8}{2}-9\le\frac{-8}{4}-3$
$4-9\le-2-3$
$-5\le-5$
Verdadero, se cumple la desigualdad. $a$ pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $b = 4$ en la inecuación:
$\frac{\left(4\right)-1}{2}-\left(4\right)\le\frac{1-\left(4\right)}{4}-3$
$\frac{3}{2}-4\le-\frac{3}{4}-3$
$-\frac{5}{2}\le-\frac{15}{4}$ que es lo mismo que $-2,5\le-3,75$
Falso, no se cumple la desigualdad. $b$ no pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $a = 9$ en la inecuación:
$\frac{\left(9\right)-1}{2}-\left(9\right)\le\frac{1-\left(9\right)}{4}-3$
$\frac{8}{2}-9\le\frac{-8}{4}-3$
$4-9\le-2-3$
$-5\le-5$
Verdadero, se cumple la desigualdad. $a$ pertenece al conjunto planteado.
Reemplazamos $b = 4$ en la inecuación:
$\frac{\left(4\right)-1}{2}-\left(4\right)\le\frac{1-\left(4\right)}{4}-3$
$\frac{3}{2}-4\le-\frac{3}{4}-3$
$-\frac{5}{2}\le-\frac{15}{4}$ que es lo mismo que $-2,5\le-3,75$
Falso, no se cumple la desigualdad. $b$ no pertenece al conjunto planteado.